function execute() {
  return gapi.client.gmail.users.messages.list({
    "userId": "myid@gmail.com",
    "q": "has:attachment", // This right here
    "includeSpamTrash": false,
    "maxResults": 100,
  })
    .then(
      function (response) {
        // Handle the results here (response.result has the parsed body).
        console.log("Response", response);
      },
      function (err) {
        console.error("Execute error", err)
      }
    )
}

Параметр "q" имеет множество параметров, которые можно использовать для фильтрации вывода. Это также работает в пользовательском интерфейсе Gmail.

Чтобы получить только сообщения, содержащие вложение, следует использовать метод users.messages.list при включении параметра q для отображения только сообщений с вложениями. Этот параметр q можно настроить с помощью строки has:attachment. В JavaScript этот запрос выглядит следующим образом:

  function execute() {
    return gapi.client.gmail.users.messages.list({
      "userId": "{ YOUR USERID HERE }",
      "q": "has:attachment"
    })
        .then(function(response) {
                console.log("Response", response);
              },
              function(err) { console.error("Execute error", err); });
  }

Не забудьте обновить параметр userId, чтобы он соответствовал вашему сценарию.

ОБНОВИТЬ

Читая ваш новый комментарий, я понимаю, что вашей конечной целью является получение поля attachmentId. Вы можете сделать это очень легко, просто расширив приведенный выше запрос. Вам нужно только помнить, что указанная выше функция возвращает сообщение id, которое можно использовать для получения Message объект, содержащий MessagePart внутри поля payload. Тот же объект MessagePart содержит MessagePartBody внутри поля body. Наконец, этот MessagePartBody содержит поле attachmentId.

Чтобы было понятнее опишу процесс пошагово:

1. Вы запускаете вышеуказанный users.messages.list и получить несколько id взамен.
2. Для каждого id вы запускаете функцию users.messages.get, чтобы получить объект Message. Эта функция может быть похожа на этот пример:

  function execute() {
    return gapi.client.gmail.users.messages.get({
      "userId": "{ YOUR USERID HERE }",
      "id": "{ THE MESSAGE ID HERE }"
    })
        .then(function(response) {
                console.log("Response", response);
              },
              function(err) { console.error("Execute error", err); });
  }

1. Шаг выше вернет объект Message с несколькими MessagePart внутри. Поскольку вас интересуют только вложения MessagePart, вам необходимо взаимодействовать с каждым из них, проверяя, не пусто ли поле filename (поскольку только вложения MessagePart имеют заполненный filename поле). Имейте в виду, что на каждое вложение в электронном письме приходится один MessagePart.
2. Теперь вы определили, какие MessagePart содержат информацию о вложении. Наконец, вам нужно только проверить свойство body этого MessagePart и прочитать поле attachmentId внутри.