Как сделать так, чтобы цикл постоянно запрашивал ввод данных пользователем до тех пор, пока не будет введен заданный символ, который остановит программу?

Вы можете обернуть вычисление факториала внутри цикла следующим образом:

    int number;
    int factorial = 1;
    while(true) {
        printf("Please enter a positive number for factorial calculation (-1 to end) :");
        scanf("%d", &number);
        if (number == -1)
            break; // or just return as you need
        for (x = 1; x <= number; x++){
            factorial *= x;
        }   
        printf("factorial for %d is %d", number, factorial);
        factorial = 1;
    }

В этом случае вы получите число в качестве ввода и просто начнете проверять, что пользователь ввел.

В своем коде вы проверяли внутри цикла for, чтобы переменная x отличалась от -1, но это условие никогда не выполнялось, поскольку вы присваивали 1 x только в начале цикла. В этом случае вы должны проверить number, но это будет не совсем правильно.

Используйте цикл While и проверьте значение после ввода пользователем, чтобы узнать, нужно ли вам выйти из цикла:

int main(void){
    int x, number, factorial;

// The objective of this program is to compute the factorial
// for a user inputted number, stopping once "-1" is entered.
 
    while (true){
        printf("Please enter a positive number for factorial calculation (-1 to end) :");
        scanf("%d", &number);
        
        if (number == -1){
            break;
        }
        for (x = 1; x <= number; x++){
            factorial *= x;                
        }   
        printf("factorial for %d is %d", number, factorial);
    }
    
}