JavaScript - удалить все до и включая символ

Просто прочитайте с его позиции до конца:

var str = "2_someOtherTest";
var res = str.substr(str.indexOf('_') + 1);

Вы можете использовать следующее регулярное выражение (что может быть хорошо, только если ваш специальный символ не известно, см. решение Алекса только для _):

^[^_]*_

Пояснение:

• ^ - начало строки
• [^_]* – любое количество символов, кроме _.
• _ — подчеркивание

И замените пустой строкой.

var re = /^[^_]*_/; 
var str = '1_anotherTest';
var subst = ''; 
document.getElementById("res").innerHTML = result = str.replace(re, subst);

<div id="res"/>

Если вам нужно сопоставить перед цифрой, и вы не знаете, какая это может быть цифра, тогда лучше использовать регулярное выражение (с регулярным выражением /^[^0-9]*[0-9]/ или /^\D*\d/).