Почему алгоритмы кратчайшего пути для всех пар работают с отрицательными весами?

Алгоритм поиска всех пар кратчайших путей Флойда Уоршалла работает для графов с отрицательными весами ребер, потому что правильность алгоритма не зависит от неотрицательности веса ребер, в то время как правильность алгоритма Дейкстры основана на этом факте.

Правильность алгоритма Дейкстры:

У нас есть 2 набора вершин на каждом шаге алгоритма. Набор A состоит из вершин, к которым мы вычислили кратчайшие пути. Набор B состоит из оставшихся вершин.

Индуктивная гипотеза : на каждом этапе мы будем предполагать, что все предыдущие итерации верны.

Индуктивный шаг : когда мы добавляем вершину V к множеству A и устанавливаем расстояние равным dist [V], мы должны доказать, что это расстояние является оптимальным. Если это не оптимально, то к вершине V должен существовать другой путь меньшей длины.

Предположим, что через некоторую вершину X из множества B проходит другой путь.

Теперь, поскольку dist[V] <= dist[X], следовательно, любой другой путь к V будет иметь длину как минимум dist [V], если только граф не имеет отрицательной длины ребер.

Правильность алгоритма Флойда Уоршалла: Любой путь от вершины S к вершине T будет проходить через любую другую вершину U графа. Таким образом, кратчайший путь от S до T может быть вычислен как

min (кратчайший_путь (от S до U) + кратчайший_путь (от U до T)) для всех вершин U в графе.

Как видите, нет зависимости от неотрицательности ребер графа, если подвызовы правильно вычисляют пути. И подвызовы правильно вычисляют пути, если базовые случаи были правильно инициализированы.