Есть ли способ использовать элементы управления проверкой на стороне клиента ASP.NET для изменения текста метки?

Да, при условии, что для Valdiator включена проверка на стороне клиента. Существует клиентский API, к которому вы можете подключиться. Смотрите это:
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/aa479045. aspx

Прокрутите вниз и прочтите раздел «Специальные эффекты», в котором в примере используется RegularExpressionValidator. Обратите внимание, что он изменяет цвет фона, а не текст в метке, но главное - увидеть, где вы можете разместить свой собственный код. Также обратите внимание, что вы не можете изменить представление метки на сервере . Все, что вы можете сделать, это обычные манипуляции с Javascript DOM.